题目内容

【题目】阅读理解:对于任意正实数a,b,

a+b2,当且仅当a=b时,等号成立.

结论:在a+b2(a,b均为正实数)中,若ab为定值p,则

当且仅当a=b,a+b有最小值

根据上述内容,回答下列问题:

(1)若x0,只有当x= 时,有最小值

(2)探索应用:如图,已知A(-2,0),B(0,-3),点P为双曲线上的任意一点,过点P作PCx轴于点C,PDy轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值,并说明此时四边形ABCD的形状.

(3)已知x>0,则自变量x为何值时,函数取到最大值,最大值为多少?

【答案】(1)32,12;(2)12,菱形;(3)5,.

【解析】

试题分析:此题属于反比例函数综合题.考查了反比例函数的性质、菱形的判定以及阅读应用问题.注意准确理解a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立是关键.

(1)直接利用a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立;求解即可求得答案;

(2)首先设P(x,),则C(x,0),D(0,),可得S四边形ABCD=ACBD=(x+2)(+3),然后利用a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立求解即可求得答案;

(3)首先设y′==x-2+,当x=y最小,进而得出x的值以及y的值.

试题解析:(1)4x+9x≥2×4x×9x=12,当且仅当4x=9x时,等号成立,

x>0,

x=32,

若x>0,只有当x=32时,4x+9x有最小值为12;

故答案为32,12;

(2)设P(x,6x),则C(x,0),D(0,6x),

BD=6x+3,AC=x+2,

S四边形ABCD=ACBD=(x+2)(+3)=6+x+6x≥6+2=12,

当且仅当x=,即x=2时,四边形ABCD面积的最小值为12,

OB=OD=3,OA=OC=2,

四边形ABCD是平行四边形,

ACBD,

四边形ABCD是菱形;

(3)设y′=x-2+

当x=y最小,

当x=5时,y最小=8,

当x=5时,y最大=

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