Question

在△ABC中，AB≠AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）如图1，写出图中所有的等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图2，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．写出EF与BE、CF关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE=OE，CF=OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．

解答：解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形
即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；
EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=BE+CF．

（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形
即图中等腰三角形有△BEO，△CFO；
EF与BE、CF之间的关系是EF=BE-CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE-OF=BE-CF．

点评：本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，关键是推出BE=OE，CF=OF．