Question

【题目】在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为___；第4个正方形的面积为___．

Answer 1

【答案】5

【解析】

由点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．即可求得OA与OD的长，然后由勾股定理即可求得AD的长，继而求得第1个正方形ABCD的面积；先证得△DOA∽△ABA1，然后由相似三角形的对应边成比例，可求得A1B的长，即可求得A1C的长，即可得第2个正方形A1B1C1C的面积；以此类推，可得第3个、第4个正方形的面积．

∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．

∴OA=1，OD=2，

在Rt△AOD中，AD==，

∴正方形ABCD的面积为：；

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，

∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BA A1=90°，

∴∠ADO=∠BA A1，

∵∠DOA=∠AB A1，

∴△DOA∽△AB A1，

∴=，即=，

解得：A1B=，

∴A1C= A1B+BC=，

∴正方形A1B1C1C的面积为： ；

∵第1个正方形ABCD的面积为：5；

第2个正方形A1 B1 C1C的面积为：=×5；

同理可得：第3个正方形A2 B2 C2 C1的面积为：××5=；

∴第4个正方形A3 B3 C3C2的面积为：．

故答案为：5，