Question

【题目】如图，已知AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CD＝BD，E、F是线段AC、AB的延长线上的点，并且EF与⊙O相切于点D．

（1）求证：∠A＝2∠BDF；

（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析：（2）CE＝1．

【解析】

（1）连接AD，如图，先证明得到∠1＝∠2，再根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥EF，然后证明∠1＝∠4得到结论；

（2）连接BC交OD于F，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据垂径定理，由得到OD⊥BC，则CF＝BF，所以OF＝AC＝，从而得到DF＝1，然后证明四边形CEDF为矩形得CE＝1．

（1）证明：连接AD，如图，

∵CD＝BD，

∴，

∴∠1＝∠2，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠1+∠ABD＝90°，

∵EF为切线，

∴OD⊥EF，

∴∠3+∠4＝90°，

∵OD＝OB，

∴∠3＝∠OBD，

∴∠1＝∠4，

∴∠A＝2∠BDF；

（2）解：连接BC交OD于F，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∵，

∴OD⊥BC，

∴CF＝BF，

∴OF＝AC＝，

∴DF＝﹣＝1，

∵∠ACB＝90°，OD⊥BC，OD⊥EF，

∴四边形CEDF为矩形，

∴CE＝DF＝1．