Question

【题目】如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．

（1）求证：BO=2OM．

（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24时，求⊙O的半径．

（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）2或4；（3）18﹣6或9或18或18+6．

【解析】

试题分析：（1）设⊙O切AB于点P，连接OP，由切线的性质可知∠OPB=90°．先由菱形的性质求得∠OBP的度数，然后依据含30°直角三角形的性质证明即可；（2）设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．先依据特殊锐角三角函数值求得BD的长，设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．当点E在AB上时．在Rt△BEM中，依据特殊锐角三角函数值可得到EM的长（用含r的式子表示），由图形的对称性可得到EF、ND、BM的长（用含r的式子表示，从而得到MN=18﹣6r，接下来依据矩形的面积列方程求解即可；当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18﹣3r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；（3）先根据题意画出符合题意的图形，①如图4所示，点E在AD上时，可求得DM=r，BM=3r，然后依据BM+MD=18，列方程求解即可；②如图5所示；依据图形的对称性可知得到OB=BD；③如图6所示，可证明D与O重合，从而可求得OB的长；④如图7所示：先求得DM=r，OMB=3r，由BM﹣DM=DB列方程求解即可．

试题解析：（1）如图1所示：设⊙O切AB于点P，连接OP，则∠OPB=90°． ∵四边形ABCD为菱形，

∴∠ABD=∠ABC=30°．∴OB=2OP． ∵OP=OM， ∴BO=2OP=2OM．

（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q． ∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD． ∴BD=2BQ=2ABcos∠ABQ=AB=18． 设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．

∵EF＞HE， ∴点E，F，G，H均在菱形的边上．

①如图2所示，当点E在AB上时．

在Rt△BEM中，EM=BMtan∠EBM=r． 由对称性得：EF=2EM=2r，ND=BM=3r．

∴MN=18﹣6r． ∴S矩形EFGH=EFMN=2r（18﹣6r）=24． 解得：r1=1，r2=2．

当r=1时，EF＜HE， ∴r=1时，不合题意舍 当r=2时，EF＞HE， ∴⊙O的半径为2． ∴BM=3r=6．

如图3所示： 当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=18﹣3r． 由对称性可知：NB=MD=6．

∴MB=3r=18﹣6=12． 解得：r=4．

综上所述，⊙O的半径为2或4．

（3）解设GH交BD于点N，⊙O的半径为r，则BO=2r．

当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与⊙O相切．

①如图4所示，点E在AD上时． ∵HE与⊙O相切， ∴ME=r，DM=r． ∴3r+r=18．

解得：r=9﹣3． ∴OB=18﹣6．

②如图5所示；由图形的对称性得：ON=OM，BN=DM． ∴OB=BD=9．

③如图6所示．∵HG与⊙O相切时，MN=2r．

∵BN+MN=BM=3r． ∴BN=r． ∴DM=FM=GN=BN=r．

∴D与O重合． ∴BO=BD=18．

④如图7所示：∵HE与⊙O相切，∴EM=r，DM=r．∴3r﹣r=18． ∴r=9+3．

∴OB=2r=18+6．

综上所述，当HE或GH与⊙O相切时，OB的长为18﹣6或9或18或18+6．