题目内容
如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.(Ⅰ)请写出图中一对全等的三角形 (写出一对即可).
(Ⅱ)有下列结论:
①BG=GC;②AG∥CF;③S△FGC=3;④图中与∠AGB相等的角有5个.
其中,正确结论的序号是 (把你认为正确结论的序号都填上).
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191423023414677/SYS201311011914230234146017_ST/images0.png)
【答案】分析:(Ⅰ)根据翻折的性质可得AF=AD,∠AFE=90°,然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△AFE全等(或Rt△ABG和Rt△AFG全等);
(Ⅱ)先求出DE、CE的长,从而得到EF,设BG=x,然后表示出GF,再求出CG、EG的长,然后在Rt△CEG中,利用勾股定理列式求出x的值,从而得到BG=CG,判定①正确;再根据等边对等角的性质得到∠GCF=∠GFC,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF,从而求出∠GCF=∠AGB,根据同位角相等,两直线平行即可证明AG∥CF,判定②正确;先求出△CEG的面积,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△FGC的面积为3.6,判定③错误;找出与∠AGB相等的角只有4个,判定④错误.
解答:解:(Ⅰ)∵△ADE沿AE对折至△AFE,
∴AF=AD,∠AFE=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AF,
在Rt△ADE和Rt△AFE中,
∵
,
∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL),
[或在Rt△ABG和Rt△AFG中,
∵
,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL);]
(Ⅱ)∵CD=3DE,正方形ABCD的边长AB=6,
∴DE=
×6=2,CE=CD-DE=6-2=4,
∴EF=DE=2,
∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴设FG=BG=x,
则EG=x+2,CG=BC-BG=6-x,
在Rt△CEG中,EG2=CG2+CE2,
即(x+2)2=(6-x)2+42,
整理得,16x=48,
解得x=3,
∴CG=6-x=6-3=3,
∴BG=CG,故①正确;
∵FG=CG=3,
∴∠GCF=∠GFC,
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴∠AGB=∠AGF,
根据三角形的外角性质,∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF,
∴∠GCF=∠AGB,
∴AG∥CF,故②正确;
△CEG的面积=
CE•CG=
×4×3=6,
∵EF=2,FG=3,
∴S△FGC=
×6=3.6,故③错误;
与∠AGB相等的角有∠AGF、∠GCF、∠GFC、∠GAD共4个,故④错误;
综上所述,正确的结论有①②.
故答案为:Rt△ADE≌Rt△AFE;①②.
点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,翻折变换的性质,勾股定理的应用,平行线的判定,以及等高的三角形的面积的比等于对应底边的比的应用,综合性较强,但难度不大,仔细分析便不难求解.
(Ⅱ)先求出DE、CE的长,从而得到EF,设BG=x,然后表示出GF,再求出CG、EG的长,然后在Rt△CEG中,利用勾股定理列式求出x的值,从而得到BG=CG,判定①正确;再根据等边对等角的性质得到∠GCF=∠GFC,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF,从而求出∠GCF=∠AGB,根据同位角相等,两直线平行即可证明AG∥CF,判定②正确;先求出△CEG的面积,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△FGC的面积为3.6,判定③错误;找出与∠AGB相等的角只有4个,判定④错误.
解答:解:(Ⅰ)∵△ADE沿AE对折至△AFE,
∴AF=AD,∠AFE=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AF,
在Rt△ADE和Rt△AFE中,
∵
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191423023414677/SYS201311011914230234146017_DA/0.png)
∴Rt△ADE≌Rt△AFE(HL),
[或在Rt△ABG和Rt△AFG中,
∵
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191423023414677/SYS201311011914230234146017_DA/1.png)
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL);]
(Ⅱ)∵CD=3DE,正方形ABCD的边长AB=6,
∴DE=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191423023414677/SYS201311011914230234146017_DA/2.png)
∴EF=DE=2,
∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴设FG=BG=x,
则EG=x+2,CG=BC-BG=6-x,
在Rt△CEG中,EG2=CG2+CE2,
即(x+2)2=(6-x)2+42,
整理得,16x=48,
解得x=3,
∴CG=6-x=6-3=3,
∴BG=CG,故①正确;
∵FG=CG=3,
∴∠GCF=∠GFC,
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG,
∴∠AGB=∠AGF,
根据三角形的外角性质,∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF,
∴∠GCF=∠AGB,
∴AG∥CF,故②正确;
△CEG的面积=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191423023414677/SYS201311011914230234146017_DA/3.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191423023414677/SYS201311011914230234146017_DA/4.png)
∵EF=2,FG=3,
∴S△FGC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101191423023414677/SYS201311011914230234146017_DA/5.png)
与∠AGB相等的角有∠AGF、∠GCF、∠GFC、∠GAD共4个,故④错误;
综上所述,正确的结论有①②.
故答案为:Rt△ADE≌Rt△AFE;①②.
点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,翻折变换的性质,勾股定理的应用,平行线的判定,以及等高的三角形的面积的比等于对应底边的比的应用,综合性较强,但难度不大,仔细分析便不难求解.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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