Question

如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．

（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．

Answer 1

（1）2（2）见解析

解：（1）连接OB，

∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴弧BC与弧AC的度数为：60°。∴∠BOC=60°。
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形。
∵OC =2，∴BC=OC=2。
（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP。
∴∠CBP=∠CPB。
∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°。∴∠CBP=30°。
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°。∴OB⊥BP。
∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线。
（1）连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长。
（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，从而证得PB是⊙O的切线。