题目内容
如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D．延长DA交△ABC的外接圆于点F．
（1）求证：FB=FC；
（2）若FA=2
，AD=4
，求FB的长．
（1）求证：FB=FC；
（2）若FA=2
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（1）证明：∵A、C、B、F四点共圆
∴∠FBC=∠DAC
又∵AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠DAC
又∵∠FCB=∠FAB（同弧所对的圆周角相等），∠FAB=∠EAD
∴∠FBC=∠FCB
∴FB=FC；
（2）∵∠BAC=∠BFC，∠FAB=∠FCB=∠FBC
∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC
∵∠AFC=∠CFD，
∴△FAC∽△FCD
∴FA：FC=FC：FD
∴FB2=FC2=FA•FD=2
×6
=36，
∴FB=6．
∴∠FBC=∠DAC
又∵AD平分∠EAC
∴∠EAD=∠DAC
又∵∠FCB=∠FAB（同弧所对的圆周角相等），∠FAB=∠EAD
∴∠FBC=∠FCB
∴FB=FC；
（2）∵∠BAC=∠BFC，∠FAB=∠FCB=∠FBC
∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC
∵∠AFC=∠CFD，
∴△FAC∽△FCD
∴FA：FC=FC：FD
∴FB2=FC2=FA•FD=2
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∴FB=6．
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