题目内容

如图①,已知二次函数的解析式是y=ax2+bx(a>0),顶点为A(1,-1).
(1)a=   
(2)若点P在对称轴右侧的二次函数图像上运动,连结OP,交对称轴于点B,点B关于顶点A的对称点为C,连接PC、OC,求证:∠PCB=∠OCB;
(3)如图②,将抛物线沿直线y=-x作n次平移(n为正整数,n≤12),顶点分别为A1,A2,…,An,横坐标依次为1,2,…,n,各抛物线的对称轴与x轴的交点分别为D1,D2,…,Dn,以线段AnDn为边向右作正方形AnDnEnFn,是否存在点Fn恰好落在其中的一个抛物线上,若存在,求出所有满足条件的正方形边长;若不存在,请说明理由.

(1)1;(2)证明见解析;(3)2,6.

解析试题分析:(1)直接利用顶点坐标,进而代入求出即可;
(2)根据题意得出,进而得出△ODC∽△PHC,求出即可;
(3)由题意得出:A1(1,-1),A2(2,-2),A3(3,-3),…An(n,-n),进而得出F1(2,-1),F2(4,-2),F3(6,-3),…Fn(2n,-n)..,即可分类讨论得出n的值.
试题解析:(1)解:∵二次函数的解析式是y=ax2+bx(a>0),顶点为A(1,-1),

解得:

(2)证明:由(1)得,抛物线的解析式为:y=x2-2x,
设P(m,m2-2m),则直线OP的解析式为:y=(m-2)x,
∴B(1,m-2),∴C(1,-m),
过点P作PH⊥CD于点H,则PH=m-1,CH=m2-m,

∵∠ODC=∠PHC,
∴△ODC∽△PHC,
∴∠PCB=∠OCB;
(3)解:由题意得出:A1(1,-1),A2(2,-2),A3(3,-3),…An(n,-n),
∴F1(2,-1),F2(4,-2),F3(6,-3),…Fn(2n,-n)…
若Fn恰好落在其中的第m个抛物线上(m为正整数,m≤12),
则该抛物线解析式为:y=(x-m)2-m,
将Fn代入得:-n=(2n-m)2-m,
即(2n-m)2=m-n,
∴m-n是一个平方数,只能是0,1,4,9,
当m-n=0时,2n-m=0,∴m=n=0(舍去);
当m-n=1时,2n-m=1或-1,∴n=2或0(舍去);
当m-n=4时,2n-m=2或-2,∴n=2或6;
当m-n=9时,2n-m=3或-3,∴n=6(舍去)或12(舍去).
综上所述,正方形边长n的值可以是2,6.
考点:二次函数综合题.

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