Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，过点B作BE∥PC交⊙O于点E，连接CE，CB．

（1）试判断△BCE的形状，并说明理由；

（2）过点C作CD⊥AB于点D交BE于点F，若cosP＝，CF＝5，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）△BCE为等腰三角形，理由见解析；（2）AB＝20

【解析】

（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCP＝90°，根据平行线的性质得到OC⊥BE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；

（2）连接AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠A＝∠DCB，得到∠FCB＝∠CBF，根据等腰三角形的性质得到CF＝BF＝5，根据勾股定理得到BC＝，由射影定理即可得到结论．

（1）△BCE为等腰三角形，

理由：连接OC，

∵PC切⊙O于点C，

∴∠OCP＝90°，

∵BE∥PC，

∴OC⊥BE，

∴

∴∠CBE＝∠E，

∴EC＝BC，

即△BCE是等腰三角形；

（2）连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∴∠ACD+∠BCD＝∠A+∠ACD＝90°，

∴∠A＝∠DCB，

∵∠E＝∠A，

∴∠FCB＝∠CBF，

∴CF＝BF＝5，

∵BE∥PC，

∴∠DBF＝∠P，

∴cosP＝cos∠DBF＝，

∴BD＝4，DF＝3，CD＝8，

∴BC＝，

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴BC2＝ABBD，

∴（4）2＝4AB，

∴AB＝20．