Question

【题目】现场学习题：

问题背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上． ．

思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法，若△ABC三边的长分别为a，2a、a（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是： ．

探索创新：

（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，m≠n），请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为： ．

Answer 1

【答案】（1）2．5；（2）画图详见解析；3a2；（3）画图详见解析；3mn．

【解析】

（1）把△ABC所在长方形画出来，再用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可；

（2）a是直角边长为a、a的直角三角形的斜边；2a是直角边长为4a，2a的直角三角形的斜边；a是直角边长为a，5a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；

（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为n，4m的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．

（1）S△ABC=4×2-×4×1-×1×1-×2×3=2.5，

故答案为：2.5；

（2）如图所示：

S△ABC=5a×2a-×a×a-×2a×4a-×a×5a=3a2，

故答案为：3a2；

（3）如图所示：

S△ABC=4m×2n-×2m×2n-×2m×n-×4m×n=3mn，

故答案为：3mn．