题目内容
如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．)
(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB＝∠PAC＋∠PBD；
(2)当动点P落在第②部分时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)？
(3)当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
解析：
|
(1)解法一：如图1 延长BP交直线AC于点E ∵AC∥BD，∴∠PEA＝∠PBD． ∵∠APB＝∠PAE＋∠PEA， ∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD．
解法二：如图2 过点P作FP∥AC， ∴∠PAC＝∠APF． ∵AC∥BD，∴FP∥BD． ∴∠FPB＝∠PBD． ∴∠APB＝∠APF＋∠FPB＝∠PAC＋∠PBD．
解法三：如图3， ∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180° 即∠PAC＋∠PAB＋∠PBA＋∠PBD＝180°． 又∠APB＋∠PBA＋∠PAB＝180°， ∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD． (2)不成立． (3)(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB． (b)当动点P在射线BA上，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB．或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD(任写一个即可)． (c)当动点P在射线BA的左侧时， 结论是∠PAC＝∠APB＋∠PBD． 选择(a)证明： 如图4，连接PA，连接PB交AC于M ∵AC∥BD， ∴∠PMC＝∠PBD． 又∵∠PMC＝∠PAM＋∠APM， ∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB． 选择(b)证明：如图5 ∵点P在射线BA上，∴∠APB＝0°． ∵AC∥BD，∴∠PBD＝∠PAC． ∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°，∠PAC＝∠PBD． 选择(c)证明： 如图6，连接PA，连接PB交AC于F ∵AC∥BD，∴∠PFA＝∠PBD． ∵∠PAC＝∠APF＋∠PFA， ∴∠PAC＝∠APB＋∠PBD．
|
（2012•桂平市三模）如图，直线AC∥BD，⊙O与AC和BD分别相切于点A和点B．点M和点N分别是AC和BD上的动点，MN沿AC和BD平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（ ）