题目内容
28、利用平行线的性质探究：
如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图＜1＞，过点P作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：
（1）当动点P落在第②部分时，在图＜2＞中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；
（2）当动点P落在第③部分时，在图＜3＞、图＜4＞中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．
（1）当动点P落在第②部分时
（2）当动点P落在第③部分时（如图＜3＞）
当动点P落在第③部分时（如图＜4＞）
如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图＜1＞，过点P作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：
（1）当动点P落在第②部分时，在图＜2＞中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；
（2）当动点P落在第③部分时，在图＜3＞、图＜4＞中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．
（1）当动点P落在第②部分时
∠APB=∠PAC+∠PBD
．（2）当动点P落在第③部分时（如图＜3＞）
∠PBD=∠APB+∠PAC
．当动点P落在第③部分时（如图＜4＞）
∠PAC=∠PBD+∠APB
．分析：（1）在第②部分和和第①部分是同样的结论，可以画图得到结论．
（2）可分别画出图形，作出辅助线证明结论．
（2）可分别画出图形，作出辅助线证明结论．
解答：解：（1）
∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）
∠PBD=∠APB+∠PAC．
∵∠PAC=∠AEB，
∠AEB=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）
∠PBD=∠APB+∠PAC．
∵∠PAC=∠AEB，
∠AEB=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．
点评：本题考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，内错角相等以及外角的性质，外角等于不相邻的两个内角的和．
练习册系列答案
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∠C，BE⊥DE于点E，DE与AB相交于点F．
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