如图.直线AC∥BD.连接AB.直线AC.BD及线段AB把平面分成①.②.③.④四个部分.规定:线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时.连接PA.PB.构成∠PAC.∠APB.∠PBD三个角． (提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)(1)当动点P落在第①部分时.有∠APB=∠PAC+∠PBD.请说明理由,(2)当动点P落在第②部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°）
（1）当动点P落在第①部分时，有∠APB=∠PAC+∠PBD，请说明理由；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？若不成立，试写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的等量关系（无需说明理由）；
（3）当动点P在第③部分时，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系，写出你发现的一个结论并加以说明．

分析：（1）过点P向左作PQ∥AC，根据平行公理可得PQ∥BD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠APQ=∠PAC，∠BPQ=∠PBD，相加即可得解；
（2）过点P向右作PQ∥AC，根据平行公理可得PQ∥BD，然后根据两直线平行，同旁内角互补可得∠APQ+∠PAC=180°，∠BPQ+∠PBD=180°，两式相加即可得解；
（3）分点P在直线AB的左侧与右侧两种情况，分别过点P向右作PQ∥AC，根据平行公理可得PQ∥BD，然后根据两直线平行，同旁内角互补用∠PAC表示出∠APQ，用∠PBD表示出∠BPQ，然后结合图形整理即可得解．

解答：解：（1）如图，过点P向左作PQ∥AC，则∠APQ=∠PAC，
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD，
∴∠BPQ=∠PBD，
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）不成立．∠APB+∠PAC+∠PBD=360°．
理由如下：如图，过点P向右作PQ∥AC，则∠APQ+∠PAC=180°，
∵AC∥BD，

∴PQ∥BD，
∴∠BPQ+∠PBD=180°，
∴∠APQ+∠PAC+∠BPQ+∠PBD=180°×2=360°，
∵∠APB=∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；

（3）①若点P在直线AB左侧，过点P向右作PQ∥AC，则∠APQ=180°-∠PAC，
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD，
∴∠BPQ=180°-∠PBD，
∵∠APB=∠BPQ-∠APQ=（180°-∠PBD）-（180°-∠PAC）=∠PAC-∠PBD，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD；
②若点P在直线AB右侧，过点P向右作PQ∥AC，则∠APQ=180°-∠PAC，
∵AC∥BD，
∴PQ∥BD，
∴∠BPQ=180°-∠PBD，
∵∠APB=∠APQ-∠BPQ=（180°-∠PAC）-（180°-∠PBD）=∠PBD-∠PAC，
∴∠PBD=∠APB+∠PAC．

点评：本题考查了平行线的性质，读懂题目信息，过点P作出平行线，构造出内错角或同旁内角是解题的关键，（3）注意要分点P在直线AB的左、右两侧两种情况讨论求解．