Question

（1）将抛物线y₁=2x²向右平移2个单位，得到抛物线y₂的图象，则y₂=

 

；
（2）如图，P是抛物线y₂对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y₂交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出y₂的图象；
（2）由（1）可得出抛物线y₂的对称轴，也就得出了P点的横坐标；将x=t分别代入y=x和抛物线y₂的解析式中，可求出A、B的坐标，若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则AB=AP（或BP）即A、B两点纵坐标差的绝对值等于点A（或B）与点P横坐标差的绝对值，由此可列出关于t的方程求出t的值．

解答：解：（1）抛物线y₁=2x²向右平移2个单位，得：y=2（x-2）²=2x²-8x+8；
故抛物线y₂的解析式为y₂=2x²-8x+8．

（2）由（1）知：抛物线y₂的对称轴为x=2，故P点横坐标为2；
当x=t时，直线y=x=t，故A（t，t）；
则y₂=2x²-8x+8=2t²-8t+8，故B（t，2t²-8t+8）；
若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则有AB=AP或AB=BP，
此时AB=|2t²-8t+8-t|，AP=|t-2|，
可得：|t-2|=|2t²-8t+8-t|；
当2t²-8t+8-t=t-2时，如图1，t²-5t+5=0，解得t₁=

5± 5

2

；
当2t²-8t+8-t=2-t时，如图2，t²-4t+3=0，解得t₂=1，t₃=3；
故符合条件的t值为：1或3或

5± 5

2

．

点评：此题主要考查了二次函数的图象的平移、函数图象交点、等腰直角三角形的判定和性质等．