题目内容
如图,已知△BAC,AB=AC,O为△ABC外心,D为⊙O上一点,BD与AC的交点为E,且BC2=AC•CE
①求证:CD=CB;
②若∠A=30°,且⊙O的半径为3+
,I为△BCD内心,求OI的长.
①求证:CD=CB;
②若∠A=30°,且⊙O的半径为3+
3 |
考点:圆的综合题
专题:压轴题
分析:①先求出
=
,然后求出△BCE和△ACB相似,根据相似三角形对应角相等可得∠A=∠CBE,再根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D,然后求出∠D=∠CBE,然后根据等角对等边即可得证;
②连接OB、OC,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC=60°,然后判定△OBC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I,设OC与BD相交于点F,然后求出CF,再根据I是三角形的内心,利用三角形的面积求出IF,然后求出CI,最后根据OI=OC-CI计算即可得解.
BC |
AC |
CE |
BC |
②连接OB、OC,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC=60°,然后判定△OBC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I,设OC与BD相交于点F,然后求出CF,再根据I是三角形的内心,利用三角形的面积求出IF,然后求出CI,最后根据OI=OC-CI计算即可得解.
解答:①证明:∵BC2=AC•CE,
∴
=
,
又∵AB=AC,
∴∠BCE=∠ABC,
∴△BCE∽△ACB,
∴∠CBE=∠A,
∵∠A=∠D,
∴∠D=∠CBE,
∴CD=CB;
②解:连接OB、OC,
∵∠A=30°,
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∵CD=CB,I是△BCD的内心,
∴OC经过点I,
设OC与BD相交于点F,
则CF=BC×sin30°=
BC,
BF=BC•cos30°=
BC,
所以,BD=2BF=2×
BC=
BC,
设△BCD内切圆的半径为r,
则S△BCD=
BD•CF=
(BD+CD+BC)•r,
即
•
BC•
BC=
(
BC+BC+BC)•r,
解得r=
BC=
BC,
即IF=
BC,
所以,CI=CF-IF=
BC-
BC=(2-
)BC,
OI=OC-CI=BC-(2-
)BC=(
-1)BC,
∵⊙O的半径为3+
,
∴BC=3+
,
∴OI=(
-1)(3+
)=3
+3-3-
=2
.
∴
BC |
AC |
CE |
BC |
又∵AB=AC,
∴∠BCE=∠ABC,
∴△BCE∽△ACB,
∴∠CBE=∠A,
∵∠A=∠D,
∴∠D=∠CBE,
∴CD=CB;
②解:连接OB、OC,
∵∠A=30°,
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∵CD=CB,I是△BCD的内心,
∴OC经过点I,
设OC与BD相交于点F,
则CF=BC×sin30°=
1 |
2 |
BF=BC•cos30°=
| ||
2 |
所以,BD=2BF=2×
| ||
2 |
3 |
设△BCD内切圆的半径为r,
则S△BCD=
1 |
2 |
1 |
2 |
即
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
解得r=
| ||
2(2+
|
2
| ||
2 |
即IF=
2
| ||
2 |
所以,CI=CF-IF=
1 |
2 |
2
| ||
2 |
3 |
OI=OC-CI=BC-(2-
3 |
3 |
∵⊙O的半径为3+
3 |
∴BC=3+
3 |
∴OI=(
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
点评:本题是圆的综合题型,主要考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,圆周角定理,等边三角形的判定与性质,三角形的内心的性质,(2)作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC经过△BCD的内心I是解题的关键.
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下列函数中,y是x的二次函数的是( )
A、y=x(2x-1)-2x2 | ||
B、y=
| ||
C、y2=x-1 | ||
D、y=2x2 |
下列各实数中,最大的是( )
A、-π | ||||
B、
| ||||
C、3.14 | ||||
D、
|