Question

已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED=EC．
（1）当点E在AB的上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC=CD；
（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD的数量关系．

Answer 1

分析：（1）在CD上截取CF=AE，连接EF．运用“AAS”证明△ECF≌△EDB得AE=BD，从而得证；
（2）在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．同理可得AE、AC和CD的数量关系；
（3）同（2）的探究过程可得AE、AC和CD的数量关系．

解答：
（1）证明：在CD上截取CF=AE，连接EF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC．
∴BF=BE，△BEF为等边三角形．
∴∠EBD=∠EFC=120°．
又∵ED=EC，
∴∠D=∠ECF．
∴△EDB≌△ECF （AAS）
∴CF=BD．
∴AE=BD．
∵CD=BC+BD，BC=AC，
∴AE+AC=CD；

（2）解：在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．
同（1）的证明过程可得AE=BD．
∵CD=BC-BD，BC=AC，
∴AC-AE=CD；

（3）解：AE-AC=CD．
（在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．证明过程类似（2））．

点评：此题考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，运用了类比的数学思想进行探究，有利于培养分散思维习惯和举一反三的能力．