题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,EF⊥x轴,垂足为F,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PQ⊥x轴,垂足为点Q,△PCQ为等边三角形

(1)求该抛物线的解析式;
(2)求点P的坐标;
(3)求证:CE=EF;
(4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使△CQM与△CPE全等?若存在,试求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.[注:3+=(+1)2].

【答案】
(1)

解:设抛物线的表达式为y=a(x﹣2)2+1,将点A(0,2)代入,得a(0﹣2)2+1=2,

解这个方程,得a=

∴抛物线的表达式为=


(2)

解:将x=2代入y=x,得y=2

∴点C的坐标为(2,2)即CG=2,

∵△PCQ为等边三角形

∴∠CQP=60°,CQ=PQ,

∵PQ⊥x轴,

∴∠CQG=30°,

∴CQ=4,GQ=

∴OQ=2+,PQ=4,

将y=4代入,得4=,

解这个方程,得x1=2+=OQ,x2=2﹣<0(不合题意,舍去).

∴点P的坐标为(2+,4);


(3)

证明:

把y=x代入y=,得x=,

解这个方程,得x1=4+,x2=4﹣<2(不合题意,舍去)

∴y=4+=EF

∴点E的坐标为(4+,4+

∴OE==4+

又∵OC==

∴CE=OE﹣OC=4+

∴CE=EF;


(4)

解:

不存在.

如图,假设x轴上存在一点,使△CQM≌△CPE,则CM=CE,∠QCM=∠PCE

∵∠QCP=60°,

∴∠MCE=60°

又∵CE=EF,

∴EM=EF,

又∵点E为直线y=x上的点,

∴∠CEF=45°,

∴点M与点F不重合.

∵EF⊥x轴,这与“垂线段最短”矛盾,

∴原假设错误,满足条件的点M不存在.


【解析】(1)根据抛物线的顶点是(2,1),因而设抛物线的表达式为y=a(x﹣2)2+1,把A的坐标代入即可求得函数的解析式;
(2)根据△PCQ为等边三角形,则△CGQ中,∠CQD=30°,CG的长度可以求得,利用直角三角形的性质,即可求得CQ,即等边△CQP的边长,则P的纵坐标代入二次函数的解析式,即可求得P的坐标;
(3)解方程组即可求得E的坐标,则EF的长等于E的纵坐标,OE的长度,利用勾股定理可以求得,同理,OC的长度可以求得,则CE的长度即可求解;
(4)可以利用反证法,假设x轴上存在一点,使△CQM≌△CPE,可以证得EM=EF,即M与F重合,与点E为直线y=x上的点,∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾,故M不存在.

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