题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,EF⊥x轴,垂足为F,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PQ⊥x轴,垂足为点Q,△PCQ为等边三角形
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求点P的坐标;
(3)求证:CE=EF;
(4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使△CQM与△CPE全等?若存在,试求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.[注:3+=(+1)2].
【答案】
(1)
解:设抛物线的表达式为y=a(x﹣2)2+1,将点A(0,2)代入,得a(0﹣2)2+1=2,
解这个方程,得a=,
∴抛物线的表达式为=;
(2)
解:将x=2代入y=x,得y=2
∴点C的坐标为(2,2)即CG=2,
∵△PCQ为等边三角形
∴∠CQP=60°,CQ=PQ,
∵PQ⊥x轴,
∴∠CQG=30°,
∴CQ=4,GQ=.
∴OQ=2+,PQ=4,
将y=4代入,得4=,
解这个方程,得x1=2+=OQ,x2=2﹣<0(不合题意,舍去).
∴点P的坐标为(2+,4);
(3)
证明:
把y=x代入y=,得x=,
解这个方程,得x1=4+,x2=4﹣<2(不合题意,舍去)
∴y=4+=EF
∴点E的坐标为(4+,4+)
∴OE==4+,
又∵OC==,
∴CE=OE﹣OC=4+,
∴CE=EF;
(4)
解:
不存在.
如图,假设x轴上存在一点,使△CQM≌△CPE,则CM=CE,∠QCM=∠PCE
∵∠QCP=60°,
∴∠MCE=60°
又∵CE=EF,
∴EM=EF,
又∵点E为直线y=x上的点,
∴∠CEF=45°,
∴点M与点F不重合.
∵EF⊥x轴,这与“垂线段最短”矛盾,
∴原假设错误,满足条件的点M不存在.
【解析】(1)根据抛物线的顶点是(2,1),因而设抛物线的表达式为y=a(x﹣2)2+1,把A的坐标代入即可求得函数的解析式;
(2)根据△PCQ为等边三角形,则△CGQ中,∠CQD=30°,CG的长度可以求得,利用直角三角形的性质,即可求得CQ,即等边△CQP的边长,则P的纵坐标代入二次函数的解析式,即可求得P的坐标;
(3)解方程组即可求得E的坐标,则EF的长等于E的纵坐标,OE的长度,利用勾股定理可以求得,同理,OC的长度可以求得,则CE的长度即可求解;
(4)可以利用反证法,假设x轴上存在一点,使△CQM≌△CPE,可以证得EM=EF,即M与F重合,与点E为直线y=x上的点,∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾,故M不存在.