Question

【题目】已知正方形OABC在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，E，F分别在OA，OC上，且OA＝4，OE＝2．将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，点E，F旋转后的对应点为E1，F1．

（Ⅰ）①如图①，求E1F1的长；②如图②，连接CF1，AE1，求证△OAE1≌△OCF1；

（Ⅱ）将△OEF绕点O逆时针旋转一周，当OE1∥CF1时，求点E1的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①2；②证明见解析；（Ⅱ）（1，）或（1，﹣）．

【解析】

（Ⅰ）①由等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EF，再由旋转的性质即可得出答案；②根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；

（Ⅱ）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF＝2，OC＝OA＝4，可证得∠FCO＝30°，即∠EOC＝30°，已知了OE的长，通过解直角三角形，得到E点的坐标，由此得解．

（Ⅰ）①解：∵等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，OE＝2，

∴∠EOF＝90°，OF＝OE＝2，

∴EF＝＝＝2，

∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，

∴E1F1＝EF＝2；

②证明：∵四边形OABC为正方形，

∴OC＝OA．

∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，

∴∠AOE1＝∠COF1，

∵△OEF是等腰直角三角形，

∴△OE1F1是等腰直角三角形，

∴OE1＝OF1．

在△OAE1和△OCF1中，

∴△OAE1≌△OCF1（SAS）；

（Ⅱ）解：∵OE⊥OF，

∴过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，

当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，

则点F在以O为圆心，以OF为半径的圆上．

∴过点F与OF垂直的直线必是圆O的切线，

又点C是圆O外一点，过点C与圆O相切的直线有且只有2条，不妨设为CF1和CF2，

此时，E点分别在E1点和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2．

当切点F1在第二象限时，点E1在第一象限．

在直角三角形CF1O中，OC＝4，OF1＝2，

cos∠COF1＝＝＝，

∴∠COF1＝60°，

∴∠AOE1＝60°．

∴点E1的横坐标＝2cos60°＝1，

点E1的纵坐标＝2sin60°＝，

∴点E1的坐标为（1，）；

当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限．

同理可求：点E2的坐标为（1，﹣）．

综上所述，当OE1∥CF1时，点E1的坐标为（1，）或（1，﹣）．