题目内容
【题目】如图1,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上(不与A、O重合)的一个动点,过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E.
(1)求证:PB=PE;
(2)过点E作EF⊥AC于点F,如图2.若正方形ABCD的边长为2,则在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,请直接写出这个不变的值;若变化,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】试题分析:(1)如图1,连接PD,可根据正方形的性质和全等三角形的判定可证△BCP≌△DCP,然后由全等三角形的性质得到PD=PB,然后可根据垂直证得∠PDC=∠PDE,从而得证;
(2)根据图形的变化,可知结论不发生变化,然后由(1)的结论,根据勾股定理可求解.
试题解析:(1)如图1,连接PD.∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCA=∠DCA,∠BCD=90°.
又∵PC=PC,
∴△BCP≌△DCP.
∴PB=PD,∠PBC=∠PDC.
∵PB⊥PE,
∴∠BPE=90°.
∴在四边形BCEP中,∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°.
又∵∠PED+∠PEC=180°,
∴∠PBC=∠PED.
∴∠PDC=∠PDE.
∴PD=PE.
∴PB=PE.
(2)的长度不发生变化,PF=.
(提示:连接OB,证明△PEF≌△BPO.说明:答案写成、等没有化简的形式均不扣分)
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