题目内容

如图，△ABC是等腰直角三角形，AB= $数学公式$ ，D为斜边BC上的一点（D与B、C均不重合），连接AD，把△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，连接DE，设BD=x．
（1）求证∠DCE=90°；
（2）当△DCE的面积为1.5时，求x的值；
（3）试问：△DCE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并指出此时x的取值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC为斜边，
∴∠ABD+∠ACD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，
即：∠DCE=90°；

（2）∵AC=AB= $\text{[math]}$ ，
∴BC²=AC²+AB²= $\text{[math]}$ ，
∴BC=4．
∵△ACE≌△ABD，∠DCE=90°，
∴CE=BD=x，而BC=4，
∴DC=4-x，
∴Rt△DCE的面积为： $\text{[math]}$ DC•CE= $\text{[math]}$ （4-x）x．
∴ $\text{[math]}$ （4-x）x=1.5，
即x²-4x+3=0．
解得x=1或x=3．

（3）△DCE存在最大值．
理由如下：设△DCE的面积为y，于是得y与x的函数关系式为：
y= $\text{[math]}$ （4-x）x（0＜x＜4），
=- $\text{[math]}$ （x-2）²+2，
∵a=- $\text{[math]}$ ＜0，
∴当x=2时，函数y有最大值2．
又∵x满足关系式0＜x＜4，
故当x=2时，△DCE的最大面积为2．
分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，△ABD绕点A按逆时针旋转后得到△ACE，得到∠ABD与∠ACE相等，进而得到∠ACE+∠ACD=90°即证得；
（2）由直角三角形到△ACE≌△ABD，从而得直角三角形的面积公式而解得；
（3）通过函数式的判断来得到．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，及一元二次方程、二次函数等基础知识，考查等价转换思想，运算求解等能力和创新意识等．