题目内容

【题目】如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆O,交BC于点D,连接AD、过点D作DEAC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.

(1)求证:EF是O的切线;

(2)求证:FDB∽△FAD;

(3)如果O的半径为5,sinADE=,求BF的长.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)

【解析】

试题分析:(1)连接OD,AB为0的直径得ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为ABC的中位线,所以ODAC,而DEAC,则ODDE,然后根据切线的判定方法即可得到结论;

(2)利用两角对应相等的两三角形相似进行证明即可.

(3)由DAC=DAB,根据等角的余角相等得ADE=ABD,在RtADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在RtADE中可计算出AE=,然后由ODAE,得FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF.

试题解析:(1)证明:连接OD,如图,

AB为0的直径,

∴∠ADB=90°,

ADBC,

AB=AC,

AD平分BC,即DB=DC,

OA=OB,

OD为ABC的中位线,

ODAC,

DEAC,

ODDE,

EF是0的切线;

(2)证明:EF是O的切线,

∴∠ODB+BDF=90°,

OD=OB,

∴∠OBD=ODB,

∴∠OBD+BDF=90°,

AB是O的直径,

∴∠ADB=90°,

∴∠DAB+OBD=90°,

∴∠DAB=BDF,

∵∠BFD=DFA,

∴△FDB∽△FAD;

(3)∵∠DAC=DAB,

∴∠ADE=ABD,

在RtADB中,sinADE=sinABD=,而AB=10,

AD=8,

在RtADE中,sinADE=

AE=

ODAE,

∴△FDO∽△FEA,

BF=

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