题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,连接AD、过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求证:△FDB∽△FAD;
(3)如果⊙O的半径为5,sin∠ADE=,求BF的长.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【解析】
试题分析:(1)连接OD,AB为⊙0的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论;
(2)利用两角对应相等的两三角形相似进行证明即可.
(3)由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在Rt△ADE中可计算出AE=,然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF.
试题解析:(1)证明:连接OD,如图,
∵AB为⊙0的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴AD平分BC,即DB=DC,
∵OA=OB,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴EF是⊙0的切线;
(2)证明:∵EF是⊙O的切线,
∴∠ODB+∠BDF=90°,
∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠OBD+∠BDF=90°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠OBD=90°,
∴∠DAB=∠BDF,
∵∠BFD=∠DFA,
∴△FDB∽△FAD;
(3)∵∠DAC=∠DAB,
∴∠ADE=∠ABD,
在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD=,而AB=10,
∴AD=8,
在Rt△ADE中,sin∠ADE=,
∴AE=,
∵OD∥AE,
∴△FDO∽△FEA,
∴,
即,
∴BF=.