Question

【题目】LED灯具有环保节能、投射范围大、无频闪、使用寿命较长等特点，在日常生活中，人们更倾向于LED灯的使用，某校数学兴趣小组为了解LED灯泡与普通白炽灯泡的销售情况，进行了市场调查：某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：

（1）该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可以获利3200元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？

（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡120个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？

Answer 1

【答案】（1）该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个；

（2）该商场购进LED灯泡75个，则购进普通白炽灯泡45个，这批灯泡的总利润为1350元．

【解析】分析：（1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，利用该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可；（2）设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡（120-a）个，这批灯泡的总利润为W元，利用利润的意义得到W=（60-45）a+（30-25）（120-a）=10a+600，再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%可确定a的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．

本题解析：（1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为（300-x）个，

根据题意得:(60-45)x+(0.9×30-25)(300-x)=3200 ,解得，x=200

300-200=100

答：该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个.

（2）设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡（120﹣a）个，这批灯泡的总利润为W元，

根据题意得W=（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）=10a+600

∵10a+600≤[45a+25（120﹣a）]×30%

解得a≤75，

∵k=10＞0，∴W随a的增大而增大，

∴a=75时，W最大，最大值为1350，

此时购进普通白炽灯泡（120﹣75）=45个．

答：该商场购进LED灯泡75个，则购进普通白炽灯泡45个，这批灯泡的总利润为1350元．