Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．

（1）求证：AD=BC
（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分。

Answer 1

【答案】
（1）

证明：（1）过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，如图1，

∵AB∥CD

∴四边形ABMC为平行四边形，

∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，

在△ACD和△BDC中，

，

∴△ACD≌△BDC（SAS），

∴AD=BC；

（2）

解：连接EH，HF，FG，GE，如图2，

∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，

∴HE∥AD，且HE=AD，FG∥AD，且FG=，

∴四边形HFGE为平行四边形，

由1知，AD=BC，

∴HE=EG，

∴HFGE为菱形，

∴EF与GH互相垂直平分．

【解析】（1）由平行四边形的性质易得AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，由全等三角形判定定理及性质得出结论；
（2）连接EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，易得四边形HFGE为平行四边形，由平行四边形的性质及（1）结论得HFGE为菱形，易得EF与GH互相垂直平分．
此题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，垂直平分线判定等。