题目内容
【题目】如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,AC=4 ,点P为线段BE延长线上一点,连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F
(1)求证: ;
(2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由;
(3)设PE=x,△PBD的面积为S,求S与x之间的函数关系式.
【答案】
(1)
证明:∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形,
∴∠ECB=∠PCD=45°,∠CEB=∠CPD=90°,
∴△BCE∽△DCP,
∴
(2)
解:AC∥BD,
理由:∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°,
∴∠PCE=∠BCD,
又∵ ,
∴△PCE∽△DCB,
∴∠CBD=∠CEP=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠CBD,
∴AC∥BD;
(3)
解:如图所示:
作PM⊥BD于M,
∵AC=4 ,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,
∴BE=CE=4,
∵△PCE∽△DCB,
∴ ,即
=
,
∴BD= x,
∵∠PBM=∠CBD﹣∠CBP=45°,BP=BE+PE=4+x,
∴PM= ,
∴△PBD的面积S= BDPM=
×
x×
=
x2+2x.
【解析】(1)直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP,进而得出答案;
(2)首先得出△PCE∽△DCB,进而求出∠ACB=∠CBD,即可得出AC与BD的位置关系;
(3)首先利用相似三角形的性质表示出BD,PM的长,进而表示出△PBD的面积.此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等知识,正确表示出PM的长是解题关键.
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【题目】为声援扬州“运河申遗”,某校举办了一次运河知识竞赛,满分10分,学生得分为整数,成绩达到6分以上(包括6分)为合格,达到9分以上(包含9分)为优秀.这次竞赛中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.
(1)补充完成下面的成绩统计分析表:
组别 | 平均分 | 中位数 | 方差 | 合格率 | 优秀率 |
甲组 | 6.7 | 3.41 | 90% | 20% | |
乙组 | 7.5 | 1.69 | 80% | 10% |
(2)小明同学说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上表可知,小明是 组的学生;(填“甲”或“乙”)
(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法,认为他们组的成绩要好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的理由.