Question

26、在△ABC中，AB=AC．
（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB²-AP²；

（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；

（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，可知BP=CP，AB²-AP²=BP×BP；
（2）成立，过点A作AD⊥BC于D，依然利用勾股定理即可证明；
（3）画出图形，利用勾股定理，AP²-AB²=DP²-BD²=2DC•CP+CP²=BC•CP+CP²=BP•CP．

解答：解：（1）∵AB=AC，P是BC的中点，∴AP⊥BC
∴AB²-AP²=BP²=BP•CP；（3分）

（2）如图所示：

成立，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²①
在Rt△APD中，AP²=AD²+PD²②
①-②AB²-AP²=BD²-PD²=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；

（3）如图所示：

结论：AP²-AB²=BP•CP．

点评：本题主要考查勾股定理的应用，以及等腰三角形性质的掌握．