Question

【题目】已知射线与直线交于点，平分，于点，．

（1）如图1，若；

①求的度数；

②试说明平分．

（2）如图2，设的度数为，当为多少度时，射线是的三等分线？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①150°；②说明见解析；（2）18°或45°，说明见解析.

【解析】

（1）①根据题意可求∠BOF=30°，由平角定义可求∠DOF的度数

②通过题意可求∠AOD=∠BOG=60°，即可得OD平分∠AOG

（2）设∠AOD=β，分∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD，两种情况讨论，根据题意可列方程，可求β的值，即可得α的值．

（1）①∵AE∥OF

∴∠A=∠BOF

∵OF平分∠COF

∴∠BOC=60°，∠COF=30°

∴∠DOF=180-30°=150°

②∵∠BOC=60°

∴∠AOD=60°

∵OF⊥OG

∴∠BOF+∠FOG=90°

∴∠BOG=60°

∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°

∴∠DOG=60°=∠AOD

∴OD平分∠AOG

（2）设∠AOD=β

∵射线OD是∠AOG的三等分线

∴∠AOD=2∠DOG，或∠DOG=2∠AOD

若∠AOD=2∠DOG

∴∠DOG=β

∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC

∴∠BOF=β

∵OF⊥OG

∴∠BOG=90-α

∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°

∴β+90-β+β=180°

∴∠β=90°

∴∠BOF=45°

∵OF∥AE

∴∠A=∠BOF=45°

即α=45°

若∠DOG=2∠AOD=2β

∵∠BOC=∠AOD，OF平分∠BOC

∴∠BOF=β

∵OF⊥OG

∴∠BOG=90-α

∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180°

∴2β+90-β+β=180°

∴∠β=36°

∴∠BOF=18°

∴OF∥AE

∴∠A=∠BOF=18°

∴α=18°

综上所述α为18°或45°