题目内容
【题目】如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,BC=6, .求BE的长.
【答案】
(1)证明:连结OD,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠BDO,
∵∠CDA=∠CBD,
∴∠CDA=∠ODB,
又∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠ADO+∠CDA=90°,
即∠CDO=90°,
∴OD⊥CD,
∵OD是⊙O半径,
∴CD是⊙O的切线
(2)解:∵∠C=∠C,∠CDA=∠CBD
∴△CDA∽△CBD
∴
∵ ,BC=6,
∴CD=4,
∵CE,BE是⊙O的切线
∴BE=DE,BE⊥BC
∴BE2+BC2=EC2,即BE2+62=(4+BE)2
解得:BE= .
【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角,得到∠ADB=90°,由等量代换得到∠CDO=90°,即CD是⊙O的切线;(2)由∠C=∠C,∠CDA=∠CBD,得到△CDA∽△CBD,由比值得到CD=4,由CE,BE是⊙O的切线,得到BE=DE,BE⊥BC,由勾股定理得到BE2+BC2=EC2,求出BE的值.