题目内容

如图，在直角坐标系中，直线AB： $数学公式$ 分别交x、y轴于点A、B，线段OA上的一动点C以每秒1个单位的速度由O向点A运动，线段BA上的一动点D同时以每秒 $数学公式$ 个单位的速度由B向A运动．
（1）在运动过程中△ADC与△ABO是否相似？试说明你的理由；
（2）问当运动时间t为多少秒时，以CD为直径的圆与y轴相切？
（3）在运动过程中是否存在某一时刻，使得△OCD与△ACD相似？若存在，求出运动时间；若不存在，说明理由．

解：（1）在运动过程中△ADC与△ABO相似．理由如下：
对于y=- $\text{[math]}$ x+4，令x=0，y=4；令y=0，得x=3，
∴OA=3，OB=4，则AB=5，
设动点C移动的时间为t秒，
∴BD= $\text{[math]}$ t，OC=t，
∴AD=5- $\text{[math]}$ t，AC=3-t，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AD：AB=AC：AO，
∴△ADC∽△ABC；

（2）由（1）得CD⊥OA，并且CD：OB=AC：AO，即CD：4=3：（3-t），
∴CD= $\text{[math]}$ （3-t），
当CD为直径的圆与y轴相切时，OC等于圆的半径，
∴CD=2OC，即 $\text{[math]}$ （3-t）=2t，
∴t= $\text{[math]}$ （秒），
即当运动时间t为 $\text{[math]}$ 秒时，以CD为直径的圆与y轴相切；

（3）存在．理由如下：
△OCD与△ACD都是直角三角形，
∴当OC：CD=CD：AC时，Rt△OCD∽Rt△DCA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得t= $\text{[math]}$ ；
当OC：AC=CD：CD=1，Rt△OCD∽Rt△ACD，
∴ $\text{[math]}$ =1，解得t= $\text{[math]}$ ，
所以运动过程中当时间为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 秒时，可使得△OCD与△ACD相似．
分析：（1）先分别求出OA=3，OB=4，则AB=5，设动点C移动的时间为t秒，则AD=5- $\text{[math]}$ t，AC=3-t，再分别求出AD：AB，AC：AO，可得AD：AB=AC：AO，根据三角形相似的判定方法得到△ADC与△ABO相似；
（2）由（1）得CD⊥OA，通过CD：OB=AC：AO，得到CD= $\text{[math]}$ （3-t），当CD为直径的圆与y轴相切时，OC等于圆的半径，则CD=2OC，即 $\text{[math]}$ （3-t）=2t，解出t即可；
（3）易知△OCD与△ACD都是直角三角形，分类：当OC：CD=CD：AC时，Rt△OCD∽Rt△DCA；当OC：AC=CD：CD=1，Rt△OCD∽Rt△ACD，然后分别列出t的方程，解方程即可．
点评：本题考查了求直线与坐标轴的交点坐标的方法．也考查了三角形相似的判定与性质以及直线与圆相切的判定与性质．