题目内容
19、如图所示,在直角坐标系中,矩形OBCD的边长OB=4,OD=2.
(1)P是OB上一个动点,动点Q在PB或其延长线上运动,OP=PQ,作以PQ为一边的正方形PQRS,点P从O点开始沿线段OB方向运动,直到点P与点B重合,设OP=x,正方形PQRS与矩形OBCD重叠部分的面积为y,写出y与x的函数关系式;
(2)在(1)中,当x分别取1和3时,y的值分别是多少?
(3)已知直线l:y=ax-a经过一定点A,求经过定点A且把矩形OBCD的面积平均分成两部分的直线l的函数解析式.
(1)P是OB上一个动点,动点Q在PB或其延长线上运动,OP=PQ,作以PQ为一边的正方形PQRS,点P从O点开始沿线段OB方向运动,直到点P与点B重合,设OP=x,正方形PQRS与矩形OBCD重叠部分的面积为y,写出y与x的函数关系式;
(2)在(1)中,当x分别取1和3时,y的值分别是多少?
(3)已知直线l:y=ax-a经过一定点A,求经过定点A且把矩形OBCD的面积平均分成两部分的直线l的函数解析式.
分析:(1)本题要分两种情况.
①当RQ≤BC时,即当0≤x≤2时,重合部分是正方形PSRQ的面积,因此y=x2.
②当PR>BC时,即2<x≤4时,重合部分是个矩形,且以(4-x)为长,以BC为宽,因此此时的函数关系为y=2(4-x).
(2)由于(1)是分段函数,先根据x的值,确定所在的取值范围,然后代入所符合的函数关系式中求解即可.
(3)因为矩形OBCD是中心对称图形,且对称中心为对角线的交点,设为M.
所以经过对称中心M的直线可把矩形OBCD的面积平均分成相等的两部分.求出M (2,1),因为直线y=ax-a过M (2,1)易求解析式.
①当RQ≤BC时,即当0≤x≤2时,重合部分是正方形PSRQ的面积,因此y=x2.
②当PR>BC时,即2<x≤4时,重合部分是个矩形,且以(4-x)为长,以BC为宽,因此此时的函数关系为y=2(4-x).
(2)由于(1)是分段函数,先根据x的值,确定所在的取值范围,然后代入所符合的函数关系式中求解即可.
(3)因为矩形OBCD是中心对称图形,且对称中心为对角线的交点,设为M.
所以经过对称中心M的直线可把矩形OBCD的面积平均分成相等的两部分.求出M (2,1),因为直线y=ax-a过M (2,1)易求解析式.
解答:解:(1)y=x2;(0≤x≤2)
y=-2x+8.(2<x≤4)
(2)当x=1时,y=x2=1;
当x=3时,y=-2x+8=2.
(3)矩形OBCD的对角线交点的坐标为M(2,1),
把(2,1)代入y=ax-a得到a=1,
∴直线l的函数解析式为y=x-1.
y=-2x+8.(2<x≤4)
(2)当x=1时,y=x2=1;
当x=3时,y=-2x+8=2.
(3)矩形OBCD的对角线交点的坐标为M(2,1),
把(2,1)代入y=ax-a得到a=1,
∴直线l的函数解析式为y=x-1.
点评:本题是一次函数与二次函数的综合题,考查了一次函数与二次函数的应用以及图形面积的求法.
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