Question

【题目】已知：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数；
（3）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE． ①∠AEB的度数为°；
②探索线段CM、AE、BE之间的数量关系为 ． （直接写出答案，不需要说明理由）

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE

（2）解：如图1，∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∵△DCE为等边三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=120°，

∴∠BEC=120°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°

（3）90；AE=BE+2CM
【解析】解： （3）①如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=180﹣45=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，
所以答案是：90；
②如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，
∴CM=DM=EM，
∴DE=DM+EM=2CM，
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴BE=AD，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
所以答案是：AE=BE+2CM．

【考点精析】利用等腰直角三角形和等边三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．