Question

已知：如图，在⊙O中，弦AB=AC，过B任作一条弦BE，以A为圆心，AB为半径画弧交BE的延长线于F，连接AF交⊙O于D，连CD交AE于G；
（1）求证：AE平分∠CAD；
（2）求证：AE²=EF²+AC•AD．

Answer 1

分析：（1）圆心角及圆周角的关系是求证AE平分∠CAD的关键；
（2）欲证明AE²=EF²+AC•AD，可以转化到相关的图形中；先证明△ADE∽△DGE，EF=DE，得出EF²=AE²-AE•AG；再证明△ADE∽△AGC，得出AC•AD=AE•AG，从而得证．

解答：证明：（1）∵∠EAC=∠EBC，∠EBC=

1

2

∠CAF，
∴∠EAC=

1

2

∠CAF；
∴AE平分∠CAD．

（2）连接DE、CE；
∵∠EAC=∠CDE，∠EAC=∠DAE，
∴∠DAE=∠GDE；
∵∠ADE=∠DEG，
∴△ADE∽△DGE；
∴

AE

DE

=

DE

GE

；
∴AE•EG=DE²；
∵∠EDF=∠ACE，∠ACE=∠AFB，
∴∠EDF=∠AFB；
∴EF=DE；
∴AE•EG=EF²；
∵EG=AE-AG，
∴AE•EG=AE•（AE-EG）=AE²-AE•AG=EF²；
∵∠AED=∠ACD，∠EAC=∠EAF，
∴△ADE∽△AGC；
∴AC•AD=AE•AG；
∴AE²-AC•AD=EF²；
即AE²=EF²+AC•AD．

点评：本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定和性质，是一道较难的题目．