题目内容

【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且BD=BC,延长AD到E,且有∠EBD=∠CAB.

(1)求证:BE是⊙O的切线;

(2)若BC=,AC=5,求圆的直径AD及切线BE的长.

【答案】(1)详见解析;(2)R=3,BE=

【解析】

试题分析:(1)连接OB,根据已知条件易证EBD=CAB,继而得到BAD=EBD,根据直径所对的圆周角为直角即可证得结论;(2)连接CD,交OB于点F,易证OF为三角形ADC的中位线,根据三角形的中位线定理求得OF,再用平行线分线段成比例定理求出半径R,最后用切割线定理即可.

试题解析:(1)如图,

连接OB,BD=BC,

∴∠CAB=BAD,

∵∠EBD=CAB,

∴∠BAD=EBD,

AD是O的直径,

∴∠ABD=90°,OA=BO,

∴∠BAD=ABO,

∴∠EBD=ABO,

∴∠OBE=EBD+OBD=ABD+OBD=ABD=90°

点B在O上,

BE是O的切线,

(2)如图2,

设圆的半径为R,连接CD,

AD为O的直径,

∴∠ACCD=90°

BC=BD,

OBCD,

OBAC,

OA=OD,

OF=AC=

四边形ACBD是圆内接四边形,

∴∠BDE=ACB,

∵∠DBE=ACB,

∴△DBE∽△CAB,

DE=

∵∠OBE=OFD=90°

DFBE,

R>0,

R=3,

BE是O的切线,

BE=

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