题目内容

如图,直线与抛物线相交于A,B两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且
(1)求b的值;
(2)求证:点在反比例函数的图象上;
(3)求证:

(1)
(2)把直线解析式化为,代入得到关于y的一元二次方程,根据一元二次方程根与系数的关系,得到,从而点在反比例函数的图象上。
(3)首先根据勾股定理和逆定理证明△OAB是直角三角形,从而得到△AEO∽△OFB,得比例式即可得证。

解析分析:(1)由直线与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,求出OC,OD,从而根据已知列式求解即可。
(2)把直线解析式化为,代入得到关于y的一元二次方程,根据一元二次方程根与系数的关系,得到,从而点在反比例函数的图象上。
(3)首先根据勾股定理和逆定理证明△OAB是直角三角形,从而得到△AEO∽△OFB,得比例式即可得证。
解:(1)∵直线与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,
∴令x=0,得;令y=0,得。∴OC=,OD=
∴△OCD的面积
,∴,解得
,∴
(2)证明:由(1),直线解析式为,即,代入,得
整理,得
∵直线与抛物线相交于A,B
是方程的两个根。
∴根据一元二次方程根与系数的关系,得
∴点在反比例函数的图象上。
(3)证明:由勾股定理,得
由(2)得
同理,将代入
,即


,∴
∴△OAB是直角三角形,即∠AOB=900
如图,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,

∵∠AOB=900
∴∠AOE=900-∠BOF=∠OBF。
又∵∠AEO =∠OFB=900
∴△AEO∽△OFB。∴
∵OE=,BF=,∴

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