Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以AC为直径的⊙O交AD于点E，交BC于点F，AB2=BFBC．

（1）求证：AB与⊙O相切；

（2）若．

①求证：AC2=ABCD；

②若AC=3，EF=2，则AB+CD= ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②9．

【解析】

（1）连接AF，由题意可证△ABC∽△FBA，可得∠BAC=∠BFA=∠AFC=90°，由切线的判定可得AB与⊙O相切；

（2）①通过证明△ABC∽△CAD，可得，可得AC2=AB·CD；

②由垂径定理和勾股定理可求OG的长，由平行线分线段成比例求出AB的长，代入AC2=AB·CD，可求CD的长，即可求AB+CD的值．

（1）连接AF，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠AFC=∠AFC =90°

∵AB2=BF·BC，

即，且∠B=∠B，

∴△ABC∽△FBA，

∴∠BAC=∠BFA=90°，

即OA⊥AB，

且∵点A在⊙O上，

∴AB与⊙O相切

（2）①连接CE，

∵，AC是⊙O的直径，

∴，

∴AE=AF，CE=CF，

∴AC垂直平分EF．

∵AB//CD，

∴∠ACD=∠CAB=∠AGE=90°，

∴EF//CD，

∴∠AEF=∠D．

∵∠AEF=∠ACB，

∴∠ACB=∠D，且∠ACD=∠CAB，

∴△ABC∽△CAD，

∴，

∴AC 2=AB·CD

②连接OF

∵OG⊥EF，

∴GFEF=1，

∴OG，

∴CG

∵EF//AB，

∴，

∴AB

∵AC 2=AB·CD，

∴AC，

∴AB+CD=9

故答案为：9．