Question

已知：在△ABC中，∠CAB=2α，且0°＜α＜30°，AP平分∠CAB．
（1）如图1，若α=21°∠ABC=32°，且AP交BC于点P，试探究线段AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；
（2）如图2，若∠ABC=60°-α，点P在△ABC的内部，且使∠CBP=30°，求∠APC的度数（用含α的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）在AB上截取AD，使AD=AC，连接CD，证△ACP≌△ADP，推出∠C=∠3，求出∠4=∠5，推出PB=DB，即可推出答案；
（2）在AB上截取AM，使得AM=AC，连接PM，延长AP交BC于N，连接MN，证△ACN≌△AMN，推出∠3=∠4=60°=∠5，推出MP=MB，求出∠BPM=∠MBP，求出∠NPM=∠NBP=60°-α，求出∠APM=120°+α，证△ACP≌△AMP推出∠ACP=∠APM即可．

解答：（1）故答案为：AB-AC=PB，
证明：故答案为：在AB上截取AD，使AD=AC，
∵AP平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
在△ACP和△ADP中

AC=AD ∠1=∠2 AP=AP

∴△ACP≌△ADP，
∴∠C=∠3，
∵△ABC中，∠CAB=2α=2×21°=42°，∠ABC=32°
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32°=106°
∴∠3=106°，
∴∠4=180°-∠3=180°-106°=74°，
∴∠5=∠3-∠ABC=106°-32°=74°，
∴∠4=∠5，
∴PB=DB，
∴AB-AC=AB-AD=DB=PB；

（2）解：故答案为：在AB上截取AM，使得AM=AC，连接PM，延长AP交BC于N，连接MN，
∵AP平分∠CAB，∠CAB=2α，
∴∠1=∠2=

1

2

•2α=α
在△ACN和△AMN中

AC=AM ∠1=∠2 AN=AN

∴△ACN≌△AMN，
∴∠3=∠4，
∵∠ABC=60°-α，
∴∠3=∠2+∠NBA=α+（60°-α）=60°，
∴∠4=∠5=60°，
∴MN平分∠PNB，
∵∠CBP=30°，
∴∠6=∠3-∠NBP=60°-30°=30°，
∴∠6=∠NBP，
∴NP=NB，
∴MN垂直平分PB，
∴MP=MB，
∴∠MPB=∠PBM，
∴∠6+∠MPB=∠NBP+∠PBM，
即∠NPM=∠NBP=60°-α，
∴∠APM=180°-∠NPM=180°-（60°-α）=120°+α．
在△ACP和△AMP中

AC=AM ∠1=∠2 AP=AP

∴△ACP≌△AMP，
∴∠ACP=∠APM，
∴∠ACP=120°+α．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力，本题综合性比较强，有一定的难度．