题目内容
【题目】如图1,点D为△ABC边BC的延长线上一点.
(1)若∠A∶∠ABC=3∶4,∠ACD=140°,求∠A的度数;
(2)若∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M,过点C作CP⊥BM于点P.
求证: ;
(3)在(2)的条件下,将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC,∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q(如图2),试探究∠BQC与∠A有怎样的数量关系,请写出你的猜想并证明.
【答案】(1)60°°;
(2)证明见解析;
(3)∠BQC=90°+ ∠A,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)先根据∠A:∠ABC=3:4,设∠A=3k,∠ABC=4k,再由三角形外角的性质求出k的值,进而可得出结论;
(2)根据三角形外角的性质得出∠M=∠MCD-∠MBC,∠A=∠ACD-∠ABC.再由MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC得出 , ,
故,根据CP⊥BM即可得出结论;
(3)根据BQ平分∠CBN,CQ平分∠BCN可知 , ,再根据三角形内角和定理可知, ,根据轴对称性质知:
∠M=∠N,由此可得出结论.
(1)解:∵,∴可设.
又∵ °,
∴°,
解得 °.
∴°.
(2)证明:
(3)猜想∠BQC=90°+ ∠A.
证明如下: ∵BQ平分∠CBN,CQ平分∠BCN,
∴,
∴
.
由(2)知: ,又由轴对称性质知:∠M=∠N,
∴.
本题考查了三角形的内角和,三角形外角的性质,折叠的性质.(1)见比设参,然后根据外角的性质求解;(2)结合角平分线和外角的性质求解;(2)根据轴对称的性质和(2)的结论求解.
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