题目内容
【题目】如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于点D（3，-4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．
【答案】（1）直线BD的解析式为：y=-2x+2；y=-x2+x+2；（2）（1，2），（
，
）；（3）P点的坐标为（1，2）或（2，0）．
【解析】
试题分析：（1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
（2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，-a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）设P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论．
试题解析：（1）∵y=2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0）．
∵抛物线y=-x2+bx+c过点B（0，2），D（3，-4），
∴
解得：
，
∴y=-x2+x+2；
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：
，
∴直线BD的解析式为：y=-2x+2；
（2）存在．
如图1，
设M（a，-a2+a+2）．
∵MN垂直于x轴，
∴MN=-a2+a+2，ON=a．
∵y=-2x+2，
∴y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1．
∵B（0，2），
∴OB=2．
当△BOC∽△MNO时，
∴
，
∴
，
解得：a1=1，a2=-2（舍去）
∴M（1，2）；
如图2，
当△BOC∽△ONM时，
，
∴
，
∴a=或
（舍去），
∴M（，）．
∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）；
（3）设P（b，-b2+b+2），H（b，-2b+2）．
如图3，
∵四边形BOHP是平行四边形，
∴BO=PH=2．
∵PH=-b2+b+2+2b-2=-b2+3b．
∴2=-b2+3b
∴b1=1，b2=2．
当b=1时，P（1，2），
当b=2时，P（2，0）
∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．
