Question

【题目】对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：

（尝试）

（1）当t＝2时，抛物线y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为　 　；

（2）判断点A是否在抛物线L上；

（3）求n的值；

（发现）

通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为　 　．

（应用）

二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

Answer 1

【答案】[尝试]（1）（1，﹣2）；（2）点A在抛物线L上；（3）n=6；[发现]（2，0）,（﹣1，6）；[应用]不是，理由见解析．

【解析】

[尝试]
（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；
（2）将点A的坐标代入抛物线L直接进行验证即可；
（3）已知点B在抛物线L上，将该点坐标代入抛物线L的解析式中直接求解，即可得到n的值．
[发现]
将抛物线L展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．
[应用]
将[发现]中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可．

解：[尝试]

（1）∵将t＝2代入抛物线L中，得：

y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，

∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．

（2）∵将x＝2代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y＝0，

∴点A（2，0）在抛物线L上．

（3）将x＝﹣1代入抛物线L的解析式中，得：

n＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝6．

[发现]

∵将抛物线L的解析式展开，得：

y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4

当x=2时，y=0，当x=-1时，y=6，与t无关，

∴抛物线L必过定点（2，0）、（﹣1，6）．

[应用]

将x＝2代入y＝﹣3x2+5x+2，y＝0，即点A在抛物线上．

将x＝﹣1代入y＝﹣3x2+5x+2，计算得：y＝﹣6≠6，

即可得抛物线y＝﹣3x2+5x+2不经过点B，

∴二次函数y＝﹣3x2+5x+2不是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．