Question

【题目】如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．

（1）求证：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半径及PB的长.．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）⊙O的半径为3，线段PB的长为．

【解析】

试题分析：（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=AC推出52-r2=（2）2-（5-r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出，代入求出即可．

试题解析：（1）如图1，连接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC；

（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，

则AB2=OA2-OB2=52-r2，

AC2=PC2-PA2=（2）2-（5-r）2，

∴52-r2=（2）2-（5-r）2，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直径，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴，

∴，

解得：PB=．

∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．