题目内容

【题目】如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MNBC于点M,交AD于点N

(1)求证:CMCN

(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为31ND1

①求MC的长.

②求MN的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)MC3;②MN=2.

【解析】

1)根据折叠可得∠AMN=CMN,再根据平行可得∠ANM=CMN,可证CM=CN
2)①根据等高的两个三角形的面积比等于边的比,可求MC的长.
②作NFMC,可得矩形NFCD,根据勾股定理可求CD,则可得NFMF,再根据勾股定理可求MN的长.

解:(1)∵折叠

CMAMCNAN,∠AMN=∠CMN

ABCD是矩形

ADBC

∴∠ANM=∠CMN

∴∠ANM=∠AMN

CMCN

(2)①∵ADBC

∴△CMN和△CDN是等高的两个三角形

SCMNSCDN31CMDNDN1

MC3

②∵CMCN

CN3DN1

∴根据勾股定理 CD2

如图作NFMC

NFMC,∠D=∠DCB90°

NFCD是矩形

NFCD2FCDN1

MF2

RtMNF中,MN2

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