题目内容
【题目】在直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
（1）如图①，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．若已知A（﹣2，0）B（0，﹣4），试求C点的坐标；
（2）如图②，若点A的坐标为（﹣2
，0），点B的坐标为（0，a），点D的纵坐标为b，以B为顶点，BA为腰作等腰Rt△ABD，当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，求b﹣a的值；
（3）如图③，E为x轴负半轴上的一点，且OB＝OE，OF⊥EB于点F，以OB为边在第四象限作等边△OBM，连接EM交OF于点N，探究EM-ON与EN的数量关系．
【答案】（1）C（﹣6，﹣2）；（2）2
；（3）EN＝
（EM﹣ON），理由见解析
【解析】
（1）作CQ⊥OA于点Q，可以证明△AQC≌△BOA，由QC=AO，AQ=BO，再由条件就可以求出C的坐标；
（2）作DP⊥OB于点P，可以证明△AOB≌△BPD，则有AO=BP=OB-PO=-a-（-b）=b-a为定值；
（3）作BH⊥EB于B，由条件可以得出∠1=30°，∠2=∠3=∠EMO=15°，∠EOF=∠BMG=45°，EO=BM，可以证明△ENO≌△BGM，则GM=ON，就有EM-ON=EM-GM=EG，最后由平行线分线段成比例定理就可以得出EN=EM-ON的一半．
（1）如图（1）作CQ⊥OA于点Q，
∴∠AQC＝90°
∵△ABC是等腰Rt△，
∴AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ACQ＝∠BAO，
在△AQC与△BOA中，
，
∴△AQC≌△BOA，
∴CQ＝AO，AQ＝BO．
∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），
∴OA＝2，OB＝4，
∴CQ＝2，AQ＝4，
∴OQ＝6，
∴C（﹣6，﹣2）．
（2）如图（2）作DP⊥OB于点P，
∴∠BPD＝90°，
∵△ABD是等腰Rt△，
∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABO+∠OBD＝90°，
∴∠ABO＝∠BDP，
在△AOB与△BPD中，
，
∴△AOB≌△BPD，
∴AO＝BP，
∵BP＝OB﹣PO＝﹣a﹣（﹣b）＝b﹣a，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴b﹣a＝2，
∴当B点沿y轴负半轴向下运动时AO＝BP＝b﹣a＝2，
（3）如图（3）在ME上截取MG＝ON，连接BG，
∵△OBM是等边三角形，
∴BO＝BM＝MO，∠OBM＝∠OMB＝∠BOM＝60°，
∴EO＝MO，∠EBM＝105°，∠1＝30°，
∵OE＝OB， ∴OE＝OM＝BM．
∴∠3＝∠EMO＝15°，
∴∠BEM＝30°，∠BME＝45°，
∵OF⊥EB，
∴∠EOF＝45°
∴∠EOF＝∠BME，
在△ENO与△BGM中，
，
∴△ENO≌△BGM，
∴BG＝EN．
∵ON＝MG，
∴∠2＝∠3，
∴∠2＝15°，
∴∠EBG＝90°
∴BG＝EG，
∴EN＝EG，
∵EG＝EM﹣GM，
∴EN＝（EM﹣GM），
∴EN＝（EM﹣ON）.
