Question

【题目】如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（8，8），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．

（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；判断线段HG、OH、BG的数量关系，并说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，四边形AEBD能否为矩形？如果能，请求出点H的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，

∴CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．

在Rt△CDG和Rt△CBG中，

，

∴△CDG≌△CBG（HL）

（2）解：∵△CDG≌△CBG，

∴∠DCG=∠BCG，DG=BG．

在Rt△CHO和Rt△CHD中，

∵ ，

∴△CHO≌△CHD（HL），

∴∠OCH=∠DCH，OH=DH，

∴∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，

∴HG=HD+DG=HO+BG

（3）解：四边形AEBD可为矩形．

如图，连接BD、DA、AE、EB，

四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候．

∵DG=BG，

∴DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，

∴当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．

∵四边形DAEB为矩形，

∴AG=EG=BG=DG．

∵AB=6，

∴AG=BG=3．

设H点的坐标为（x，0），则HO=x

∵OH=DH，BG=DG，

∴HD=x，DG=3．

在Rt△HGA中，

∵HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，

∴（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．

∴H点的坐标为（2，0）．

【解析】（1）根据旋转的性质正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，，得到对应边、对应角相等，得到△CDG≌△CBG；（2）由（1）知△CDG≌△CBG，得到对应边、对应角相等，得到△CHO≌△CHD，根据全等三角形的对应边、对应角相等，得到∠OCH=∠DCH，OH=DH，由正方形的性质，得到HG=HD+DG=HO+BG；（3）根据四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB中点的时候，由DG=BG，得到DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形；再根据勾股定理求出H点的坐标.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正方形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．