题目内容

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高．
（1）求证：△ABC∽△ADC；
（2）若关于x的一元二次方程mx²-（m-2）x+ $数学公式$ （m-1）=0有两个不相等的实数根，试求m的取值范围；
（3）若（2）中方程的两根恰好是Rt△ABC两个锐角的正弦值，求Rt△ABC的斜边与斜边上的高的比．

（1）证明：∵∠C=90°，CD为斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADC；

（2）解：∵关于x的一元二次方程mx²-（m-2）x+ $\text{[math]}$ （m-1）=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0，b²-4ac=[-（m-2）]²-4•m• $\text{[math]}$ （m-1）＞0，
解得：m＜ $\text{[math]}$ 且m≠0；

（3）解：

设AC=b，BC=a，AB=c，AB上高CD=h，
∵由三角形的面积公式得：S_△ACB= $\text{[math]}$ ab= $\text{[math]}$ ch，
∴h= $\text{[math]}$ ，
∴Rt△ABC的斜边与斜边上的高的比是： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
mx²-（m-2）x+ $\text{[math]}$ （m-1）=0，
则sinA+sinB= $\text{[math]}$ ，sinA•sinB= $\text{[math]}$ ，
∵∠A+∠B=90°，
∴sin²A+sin²B=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ =1，
即（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，
（ $\text{[math]}$ ）²-2× $\text{[math]}$ =1，
整理得：m²+7m-8=0，
m=-8，m=1，
①当m=-8时，方程为-8x²+10x- $\text{[math]}$ =0，
32x²-40x+9=0，
sinA•sinB= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即Rt△ABC的斜边与斜边上的高的比是 $\text{[math]}$ ；
②当m=1时，方程为x²+x=0，
sinA•sinB= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，
∵∠A和∠B是△ACB的内角，
∴此种情况不符合题意舍去，
综合上述，Rt△ABC的斜边与斜边上的高的比是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据∠ADC=∠ACB=90°和∠A=∠A即可推出两三角形相似；
（2）根据已知得出m≠0，b²-4ac=[-（m-2）]²-4•m• $\text{[math]}$ （m-1）＞0，求出即可；
（3）根据根与系数的关系得出sinA+sinB= $\text{[math]}$ ，sinA•sinB= $\text{[math]}$ ，根据sin²A+sin²B=1推出（ $\text{[math]}$ ）²-2× $\text{[math]}$ =1，求出m的值，代入方程即可得出答案．
点评：本题考查了直角三角形性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，根与系数的关系，根的判别式等知识点的综合运用，题目比较好，但是一道难度偏大的题目．