题目内容

【题目】问题探究:

(一)(新知学习):圆内接四边形的判断定理:如果四边形对角互补,那么这个四边形内接于圆(即如果四边形EFGH的对角互补,那么四边形EFGH的四个顶点EFGH都在同个圆上).

(二)(问题解决):已知⊙O的直径为4ABCD是⊙O的直径.P上任意一点,过点P分别作ABCD的垂线,垂足分别为NM

1)若直径ABCD,点P上一动点(不与BC重合)(如图一).

证明:四边形PMON内接于某圆;②证明MN的长为定值,并求其定值;

2)若直径ABCD相交成120°角.

当点P运动到的中点时(如图二),求MN的长;

当点P(不与BC重合)从B运动到C的过程中(如图三),证明MN的长为定值.

3)试问当直径ABCD相交角∠BOC=______度时,MN的长取最大值,其最大值为_____

【答案】1)①见解析,②见解析;(2)①,②MN是定值;(3)当直径ABCD相交成90°角时,MN取得最大值2.

【解析】

1)如图一,易证∠PMO+∠PNO180°,从而可得四边形PMON内接于圆;②易证四边形PMON是矩形,则有MNOP2,问题得以解决;

2)①如图二,根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP160°,根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N60°.根据角平分线的性质可得P1MP1N,从而得到P1MN是等边三角形,则有MNP1M.然后在RtP1MO中运用含30°直角三角形的性质即可解决问题;②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,根据圆周角定理可得∠QMN90°,∠MQN=∠MPN60°,在RtQMN中运用含30°直角三角形的性质可得MQ=1,然后利用勾股定理即可解决问题;

4)由MN是直径为OP的圆内的一条弦,根据圆中最长的弦是直径,进行分析解答即可.

解:(1)①如图一,

PMOCPNOB

∴∠PMO=PNO=90°

∴∠PMO+PNO=180°

∴四边形PMON内接于圆;

②如图一,

ABOC,即∠BOC=90°

∴∠BOC=PMO=PNO=90°

∴四边形PMON是矩形,

MN=OP=2

MN的长为定值,该定值为2

2)①如图二,

P1的中点,∠BOC=120°

∴∠COP1=BOP1=60°,∠MP1N=60°

P1MOCP1NOB

P1M=P1N,∠MP1O=30°

∴△P1MN是等边三角形,

MN=P1M

OM=P1O=1

P1M=

MN=

②设四边形PMON的外接圆为⊙O′,连接NO′并延长,

交⊙O′于点Q,连接QM,如图三,

则有∠QMN=90°,∠MQN=MPN=60°

∴∠MNQ=30°

RtQMN中,MQ=NQ=1

MN=

MN是定值.

3)由题意可知,MN是直径为OP=2的圆内的一条弦,

MN的最大值为2

∴当∠BOC=90°时,在矩形PMON中,MN=OP=2

即当直径ABCD相交角∠BOC=90°时,MN的长取最大值,其最大值为2

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