题目内容

（2012•金山区一模）如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E，连接CD．

（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时
APPB
的值；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．
分析：（1）根据等边三角形的性质得出PC=BC，∠CPD=60°，PD∥BC，进而得出∠DBC的正切值等于
CD
BC
=
CD
PC
，即可得出答案；
（2）利用线段CD是线段DE和DB的比例中项得出△DCE∽△DBC，再利用相似三角形的性质得出即可；
（3）由AD∥PC，PD∥BC，得出
S△APD
S△PDC
=
AD
PC
，
S△PDC
S△BPC
=
PD
BC
，进而得出
S△APD
S△PDC
=
S△PDC
S△BPC
，以及
S
BD2
=
3
4
，即可得出比例系数．
解答：解：（1）∵等边△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB=∠PDC=90°，
∴∠DCP=30°，
∴tan∠DBC=
CD
BC
=
CD
PC
=cos30°=
3
2
；

（2）由已知，CD2=DE•DB，
即
DE
CD
=
CD
DB
，
又∵∠CDE=∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴
DE
CD
=
CD
DB
=
CE
BC
，
又∵CP=BC，
CE
BC
=
CE
CP
，
∵PD∥BC，
∴
CE
CP
=
BE
BD
，
∴
CD
DB
=
CE
CP
=
BE
BD
，
∴CD=BE，
∴
DE
BE
=
BE
DB
，即点E是线段BD的黄金分割点．
∴
DE
BE
=
BE
DB
=
5
-1
2
，
又∵PC∥AD，
∴
AP
PB
=
DE
BE
=
5
-1
2
，

（3）设AP=a，PB=b，
∴S △APD=
3
4
a2，S △BPC=
3
4
b2，
因为AD∥PC，PD∥BC，
∴
S△APD
S△PDC
=
AD
PC
，
S△PDC
S△BPC
=
PD
BC
，
∴
S△APD
S△PDC
=
S△PDC
S△BPC
，
∴S△PDC=
S△APD•S△BPC
=
3
4
ab，
∴S=
3
4
(a2+ab+b2)，
作DH⊥AB，
则DH=
3
2
a，BH=
1
2
a+b，
∴BD2=DH2+BH2=（
3
2
a）2+（
1
2
a+b）2=a2+ab+b2，
∴
S
BD2
=
3
4
，
∴S与BD2成正比例，比例系数为
3
4
．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练利用相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键．
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