题目内容

已知一条抛物线的对称轴是直线x=1;它与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左边),且线段AB的长是4;它还与过点C(1,-2)的直线有一个交点是D(2,-3).
(1)求这条直线的函数解析式;
(2)求这条抛物线的函数解析式;
(3)若这条直线上有P点,使S△PAB=12,求点P的坐标.
分析:(1)由于所求直线经过点C(1,-2)和D(2,-3),利用待定系数法即可确定直线的解析式;
(2)由于抛物线的对称轴是直线x=1;它与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左边),且线段AB的长是4,由此可以确定A、B的坐标,还经过D(2,-3),利用待定系数法可以确定抛物线的函数解析式;
(3)由于线段AB的长是4,利用三角形的面积公式可以求出P的纵坐标的绝对值,然后代入(1)中直线解析式即可确定P的坐标.
解答:解:(1)∵直线经过点:C(1,-2)、D(2,-3),
设解析式为y=kx+b,
-2=k+b
-3=2k+b

解之得:k=-1,b=-1,
∴这些的解析式为y=-x-1;

(2)由抛物线的对称轴是:x=1,与x轴两交点A、B之间的距离是4,
可推出:A(-1,0),B(3,0)(2分)
设y=ax2+bx+c,
由待定系数法得:
a-b+c=0
9a+3b+c=0
4a+2b+c=-3

解之得:
a=1
b=-2
c=-3

所以抛物线的解析式为:y=x2-2x-3(2分);

(3)设点P的坐标为(x,y),它到x轴的距离为|y|.(1分)
S△PAB=
1
2
|AB||y|=
1
2
×4|y|=12

解之得:y=±6(1分)
由点P在直线y=-x-1上,得P点坐标为(-7,6)和(5,-6).
点评:此题分别考查了抛物线与x轴的交点坐标与对称轴的关系、待定系数法确定函数的解析式即三角形的面积公式等知识,有一定的综合性,一起学生熟练掌握各个知识点才能很好解决问题.
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