题目内容

已知如图抛物线l1与x轴的交点的坐标为(-1,0)和(-5,0),与y轴的交点坐标为(0,2.5).
(1)求抛物线l1的解析式;
(2)抛物线l2与抛物线l1关于原点对称,现有一身高为1.5米的人撑着伞与抛物线l2的对称轴重合,伞面弧AB与抛物线l2重合,头顶最高点C与伞的下沿AB在同一条直线上(如图所示不考虑其他因素),如果雨滴下降的轨迹是沿着直线y=mx+b运动,那么不被淋到雨的m的取值范围是多少?
(3)将伞的下沿AB沿着抛物线l2对称轴上升10厘米至A1B1,A1B1比AB长8厘米,抛物精英家教网线l2除顶点M不动外仍经过弧A1B1(其余条件不变),那么被雨淋到的几率是扩大了还是缩小了,说明理由.
分析:(1)由图可得到抛物线l1图象上的三点坐标,利用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式;
(2)由于抛物线l1、l2关于原点对称,那么它们的开口方向,顶点横、纵坐标,与y轴交点坐标都互为相反数,而开口大小没有变化(即二次项系数的绝对值),由此可求得抛物线l2的解析式;已知了C点的纵坐标,将其代入抛物线的解析式l2中,即可求得A、B的纵坐标;设抛物线对称轴与x轴交于点N,根据A、B、N三点坐标,即可求得直线AN、BN的斜率,从而确定出m的取值范围.
(3)此题只需比较∠A1NB1与∠ANB的度数关系,若∠A1NB1>∠ANB,说明被淋到的几率减小,反之则增大,可连接AN、A1N1,通过比较∠A1NC、∠ANC的正确值的大小,来得到两个角的大小关系,由此得解.
解答:解:(1)由于抛物线l1经过(-1,0),(-5,0),(0,2.5),
设其解析式为:y=a(x+1)(x+5),则有:
a(0+1)(0+5)=2.5,即a=0.5;
∴抛物线l1:y=0.5(x+1)(x+5)=0.5x2+3x+2.5.

(2)∵抛物线l1:y=0.5(x+3)2-2,且抛物线l1、l2关于原点对称,
∴抛物线l2:y=-0.5(x-3)2+2=-0.5x2+3x-2.5;
当y=1.5时,-0.5x2+3x-2.5=1.5,
整理得:x2-6x+8=0,
解得x=2,x=4;
即A(2,1.5),B(4,1.5),M(3,2);
设抛物线的对称轴与x轴的交点为N,则N(3,0);
则直线AN的斜率:k1=
0-1.5
3-2
=-1.5,
直线BN的斜率:k2=
0-1.5
3-4
=1.5;
若要不被雨淋到,m的取值范围为:-1.5<m<1.5.

(3)由题意知:tan∠A1NC=
1.04
1.6
=
13
20
=
39
60

tan∠ANC=
1
1.5
=
2
3
=
40
60

故∠A1NC<∠ANC,∠A1NB1<∠ANB,
所以被雨淋到的几率增大了.
点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定以及函数图象的几何变换、一次函数斜率的确定、解直角三角形的应用等知识,此题结合实际问题来考查函数的实际应用,立意新颖,难度适中.
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