Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．
①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．

Answer 1

（1）。
（2）D（4，）。
（3）①四边形OAEB是平行四边形。理由如见解析
②线段BM的长为或。

试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式。
（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x轴，点B与点D纵坐标相同，解一元二次方程求出点D的坐标。
（3）①由BE与OA平行且相等，可判定四边形OAEB为平行四边形。
②点M在点B的左右两侧均有可能，需要分类讨论：
∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，∴F（，）。
过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=﹣=，BN=1﹣=。
在Rt△BNF中，由勾股定理得：。
∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，∴∠FBM=2∠BMF。
（I）当点M位于点B右侧时．
在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BG﹣BN=1，
在Rt△FNG中，由勾股定理得：。

∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG。
又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，
∴∠BFG=∠BMF。
又∵∠MGF=∠MGF，∴△GFB∽△GMF。
∴，即。
∴BM=。
（II）当点M位于点B左侧时，
设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，
∴KF=OB=FB=。∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF。
又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，∴∠BMF=∠MFK。∴MK=KF=。
∴BM=MK+BK=+1=。
综上所述，线段BM的长为或。