Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（2）求点C在这条抛物线上时m的值．
（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．
①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．
②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．
（参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为）

Answer 1

（1）。
（2）m的值为或。
（3）①点D的坐标为（，﹣2）。
②m的值为m=或m=或m=或m=。

试题分析：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）两点的坐标代入y=ax²+bx﹣2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式。
∵抛物线y=ax²+bx﹣2经过点A（﹣1，0）、B（4，0），
∴，解得。
∴抛物线所对应的函数关系式为。
（2）根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入，即可求出m的值。
∵△CMN是等腰直角三角形，∠CMN=90°，∴CM=MN=2。∴点C的坐标为（m，2）。
∵点C（m，2）在抛物线上，∴。
解得m₁=，m₂=。
∴点C在这条抛物线上时，m的值为或。
（3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，﹣2），根据二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线x=，然后根据点D在直线x=上，即可求出点D的坐标。
②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：

如果E点在E₁的位置时，
∵点D的坐标为（m，﹣2），MN=ME₁=2，点N的坐标为（m+2，0），
∴点E₁的（m﹣2，0）。
∵点E₁在抛物线的对称轴x=上，
∴m﹣2=，解得m=。
如果E点在E₂的位置时，
∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），
∴点E₂的（m+2，﹣4）。
∵点E₂在抛物线的对称轴x=上，∴m+2=，解得m=。
如果E点在E₃的位置时，
∵点D的坐标为（m，﹣2），∴点E₃的（m，2）。
∵点E₃在抛物线的对称轴x=上，∴m=。
如果E点在E₄的位置时，
∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E₄的（m+4，﹣2）。
∵点E₄在抛物线的对称轴x=上，∴m+4=，解得m=。
综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=或m=或m=或m=。